FX・1日の値動きのリスクやリターンを確率分布で考える【ドル円】

先月のエントリーでは、 スキャルピングの優位性を”平均値幅”や”標準偏差”のデータから調べました。その結果、スキャルピングの時間効率の高さや、平均値幅・標準偏差の大きさがわかりました。

FX・スキャルピングの優位性と値幅の関係・過去20年間のデータから【ドル円】スキャルピングの優位性を調べるために、FX・ドル円（USD/JPY）の値幅の平均、偏差を20年間のヒストリカルデータで調べました。ランダムウォークとしてのふるまい、短期トレードの優位性、逆にその危険性もあわせてみてゆきます。...

ただし、この切り口では、たとえば、 ±1標準偏差以内の値幅や ±1標準偏差を超える確率がいくらだかわかりません。

「±1標準偏差以内なら、ボリンジャーバンドみたく、だいたい、68.3％でしょ？」

いや、実際の相場の値幅は正規分布ではないといわれています。

そこは具体的に確かめないとわかりません。

ついでにいえば、1日で200pips以上うごく割合はどれくらいか、だとか、下落の方が上昇より速いという通説なんかも確認したい。

そこで、これまでと同じく約20年間のドル円1分足のデータを使い、

といったポイントを、数字で追及します。今回は、まず手始めとしてドル円の1日の時間スケールについてみていきます。

ドル円の値幅の頻度分布

さっそく、ドル円の1日（1440分）の値幅の相対度数分布（ヒストグラム）をみてみます。1999年1月から2019年5月までのデータから集計しました。

なお、データはXMTradingのMT4で取得したMetaQuotesの1分足のヒストリカルデータです。1440本分の長さを一日とし、1分づつずらしながら値幅の頻度を集計しました。

例によって、ここでの1日の値幅とは、日足の実体部の大きさではないのでご注意ください。分足1440本が1日と考えて、話をすすめてまいります。

棒の幅（bin, 階級幅）は10pipsとしています。

グラフの横軸範囲内から外れる値はもちろんあるのですが、すべての値を含めるとあまりに見づらいので、このスケールにしています。ご了承ください。

横軸が下落をマイナス、上昇をプラスとした符号付の値幅（pips）、縦軸は相対度数・・・何それ？という方は、割合だとか確率のようなものとお考えください。0.01が1パーセントです。この山の全面積が1になるように度数（ある階級に入る値幅の出現回数）のスケールを変えたものになります。

0pips付近が最も頻度が高いです（小数点以下2桁まで取ると平均は-0.04pipsで若干の円高傾向になります）。1日たって行って来いで元通り、てのが割合としては一番多いです。

FXがゼロサムゲームてことをよく表しています、

なお、値幅絶対値の平均は、以前お話ししたとおり、ドル円では50.1pipsでした。

ぱっと見では、0pips付近を中心に、だいたい左右対称にみえますが・・・

ただ数字的には、尖度から正規分布よりはかなりとがってそうで、歪度は左寄りを示しています（正規分布は尖度歪度ともにゼロです）。

下落は上昇より速いことが多い？

パニック売りとか狼狽売りとかいいますが、 一般にはその逆の買いの言い方はないですよね。売り崩しっていう言葉もそうでしょうか（踏み上げかな？）。

たしかに、上昇より下落のほうが速いイメージはありますね。とはいえ、トランプ大統領就任直後から数か月間の相場のように、すさまじいブル相場のときもあります。どうなんでしょう。

度数分布のプラス側（上昇）とマイナス側（下落）を、目安となる数字で分割し、それぞれ頻度をもとめて比較すれば、見当がつくかもしれません。

絶対値で0～50pips, 50～100pips、100～200pips、200～300pips、300pips超、の5つの領域にわけて割合をもとめたのが次の表です。

値幅（pips）	上昇（％）	下落（％）
0～50pips	32.121	30.008
50～100pips	13.379	12.604
100～200pips	5.171	5.305
200～300pips	0.512	0.674
300pips超	0.074	0.149

この表から、1440分では、

• 100pips以上動く割合：11.9%
• 200pips以上動く割合： 1.4%
• 300pips以上動く割合： 0.2%

また、下落と上昇を比較すると、

• ±100pips以内では、上昇のほうが頻度がわずかに高い
• 100～300pipsでは、下落のほうが頻度がわずかに高い
• 300pips超となる頻度は、下落は上昇の約2倍

下落の方が速いと明確にいえそうなのは、この分類では、300pips以上動くときといえます。100～300pipsの値幅でも、売りの方が多いですが、ごくわずかでした。

以上から、 ざっくりですが、

• 大半は上昇も下落も頻度にほぼ差はないが、非常に大きく動くときは下落のことが多い
• 値幅の分布は、ごくごくわずかに非対称

下落と上昇の大きな値動きについては、さらに詳しく、 正規分布をモノサシにして比較していきます。

値幅の分布と正規分布の比較

値幅の度数分布に正規分布をかさねてみます。正規分布の標準偏差は、値幅のデータからもとめた、68.42pipsです（さきほどと小数点以下の桁が異なっていてすみません）。

もし、値幅の分布が正規分布であるなら、ヒストグラムはグラフのオレンジの曲線に、ごく近いはずです。

しかし、およその範囲ですが、

• -30～50pipsでは、値幅の相対度数は正規分布より明らかに高い
• -180～-30pips、50～180pipsでは正規分布の方が高確率
• 値幅が180pipsを超えるあたりでは、値幅の相対度数が正規分布より高くなる

直接の比較でも、値幅の分布は、正規分布からはっきりズレています。

正規分布の標準偏差（ σ ）を基準に、±1σ、±2σ、±3σの範囲の累積確率と値幅の累積度数を比較してみます（これは各範囲内の出現頻度を別途計算した結果になります）。

範囲	値幅の累積度数	正規分布の累積確率
±1σ以内	0.7476	0.6827
±2σ以内	0.9481	0.9545
±3σ以内	0.9869	0.9973

±1σ以内は、値幅の累積度数は74.76%と正規分布の68.27%より、6.49%高くなっています。

ところが±2σ以内では、累積度数と累積確率は両者ほぼ同じになります。この範囲の累積度数でみると、値幅の分布は正規分布と見分けがつきません。

しかしこれは、グラフのとおり、値幅の相対度数が正規分布の確率密度より大きい領域と、小さい領域の大きさが、±2σ以内でほぼ相殺しているからと推測できます。

たとえて言えば、体重は同じだけど、まったくスタイルがちがう2人の人間といったところです。

±3σ以内の値は感覚的には同じような値にみえますが、注目すべきは、±3σの外側で、値幅は1.31%あるのに対して、正規分布は0.27%しかなく、両者には4.85倍の差があります。

1日で3σ＝205pips越えの確率を正規分布で仮定すると、約1年半に1回の割合となりますが、 実際は4か月弱に1回くらいは発生していることになります。

ファット・テール

値幅が大きいところでは、どうも下落のほうが頻度が高そうだという結果になりました。全体図でみるとスソの部分は小さくてわかりづらいので、グラフの下側（下落）と上側（上昇）部分を拡大して比べてみます。

グラフで見比べると、値幅が200pipsを超えるあたりから、上昇より下落のほうが発生頻度が高いことが、視覚的にもわかります。

大きな値動きは心理的インパクトが強いので、下落の方が大きいという印象を、より強めるのかもしれません。

値幅の分布と正規分布では、3σの外側の領域の面積が5倍近く差があるという結果でしたが、250pipsを超えると正規分布の確率はほぼゼロに近く、その差はさらに開きます。

このように、正規分布では表せない、極端な事象が起きやすい分布特徴は、ファット・テール（分布のスソの部分が厚いという意味。またはヘヴィテールとも）とよばれます。

この分布は何なの？

大変難しい、数理的な、深淵な話でして、こういうのは学者様にまかせておいて、私ふくめてフツーのトレーダーが知る必要はない・・・ような気がしますが、すこしだけ。

FXに限らず金融市場の値動きで正規分布であることはほぼなく、大抵は、 安定分布の一種（特性指数が2ではない）と考えられているようです。 もっとも、自然界全体に正規分布でふるまう現象は少ないのですが。

1970年代に、フラクタル理論の創始者、ブノワ・マンデルブロ（1924-2010）が、綿花価格相場の値動きが特性指数1.7の左右対称の安定分布であることを見出したのが最初です。

安定分布には特性指数という0から2までの値をとるパラメータがあり、これが安定分布のスソの厚さを決めています。

特性指数が小さくなるほど、スソが厚くなっていきます。つまり、ファット・テールになります。

このため、正規分布では予測できないような、きわめて大きな値動きが発生します。リーマンショック以来、ファット・テールの恐ろしさを世間一般に知らしめたのは、ナシーム・ニコラス・タレブだとおもいます。

相場データで標準偏差を計算してよいのか？

特性指数2未満では、理論上は安定分布の分散は無限大となり、したがって標準偏差は存在しません。特性指数1以下では平均も定義できません（結果だけ言うと、相場データの特性指数は1.7くらいで、平均はあります ）。

なおかつ確率密度関数もほとんどの場合は解析的に書けないなど、非常に厄介で数学的な難易度が高い分布です。

実は正規分布も安定分布なのですが、特性指数が2であり、解析的に書けるうえ、有限の期待値（平均値）と分散(や標準偏差）の両方を唯一例外的にもっています。

安定分布の一族の中では正規分布は異端児なんですね。平均（期待値）や標準偏差の存在は、実は当たり前なことではないわけです。

では、相場データで標準偏差を計算するのはアウトなんでしょうか？

私は下記の書籍で知ったのですが、 特性指数2未満で分散無限大というのは、データを無限に増やしてゆくと、分散が無限に大きくなる”傾向”があると解釈され、有限個のデータで分散を計算することは、なんら問題がないとのことです（「フラクタル – 5.2 安定分布」より）。

FXデータは無限にあるわけではないですしね。ただ、背景には無限という恐ろしい？性質がひそんでいると。

なお、正規分布はスソへむかって確率が指数関数的に減少しますが、ファットテールはベキ関数的に減少し、指数関数より減少のしかたが緩やかなぶん、スソが厚くなるため、ベキ分布といわれることも多いです。

まとめ

ドル円（USD/JPY）・1440分（1日）の値幅について頻度分布をしらべた結果をまとめます。

今回は、ドル円、1440分（1日）のみでの試算で、さらに短い時間スケールで特徴がまったく同じかはわかりません。大きな違いがあるかもしれません。

というのも、試しに集計したところ、60分くらいのスケールだと、1標準偏差以内で80%を超えてくるんですよね。

保有している金融資産の損失リスクを統計的根拠で計測する VaR（ Value at Risk ）がありますが、おおもとの根拠はこうした過去の値幅の頻度分布です。いずれ、もっと短期の分布を調べてみたいと思います。

分布がなぜ、正規分布よりがっつり尖っているのでしょうか？

おそらく持合いが長く、みんなそうは簡単にあきらめないから、なんて想像してます。当然ですが、損切が発生したとき、どちらかに急に大きく伸びる、いろんな時間スケールでそんな繰り返しがつづいて、こうなるというか。いや、想像というか、妄想ですかね。

ご覧いただき、ありがとうございました。